¿Cuál pesa más?

En el artículo anterior, dejamos pendiente el tema de relacionar el peso de una locomotora real, con el peso de un modelo en escala N. De hecho podríamos hablar de locomotoras, y también de vagones, ya que el hecho de que el vehículo tenga o no tracción es indiferente.

Lo primero que debo aclarar es que en este artículo, voy a hablar de pesos, aunque realmente debería decir masas, pero es que en el lenguaje corriente hablamos siempre de peso (y lo medimos en kilos y toneladas!). A las personas con formación en Física les ruego que hagan la abstracción de sustituir la palabra peso por masa)

Bien, dejamos el tema en que si dividíamos el peso de una locomotora real, por ejemplo 120 toneladas por el factor de escala para un modelo de escala N que es 160, aparentemente el peso debería ser 120 / 160 = 0,75 toneladas es decir 750 kilos. Como es inconcebible una locomotora de escala N con ese peso, algo falla aquí.

El fallo está en que 160 es el factor de escala lineal, es decir se aplica solo a longitudes, no a superficies, volúmenes ni pesos. Si tenemos una locomotora real cuya longitud es por ejemplo 18 metros, si aplicamos el factor de escala 160 la longitud de la locomotora de escala N será 18 / 160 = 0,1125 metros, o sea 11,25 centímetros y eso es realmente lo que medirá la locomotora de escala N.  Esto vale también para cualquier medida lineal como puede ser la longitud de un tramo de vía, la altura de un andén, etc. En definitiva cualquier cosa que midamos en metros lineales (o cm o kilómetros).

Pero falla en cuanto se trata de medidas de superficie o de volumen. Por ejemplo si queremos poner en nuestra maqueta un chalet con jardín en una parcela de 300 m², que es una parcela normalita, si pretendemos reducir esto a escala N, y dividimos la superficie de la parcela por 160 tendremos 300 /160 =1,875 m², es decir que podría ocupar un rectángulo de 1,875 x 1 metro. Más que muchas maquetas de escala N. El fallo está en que para medidas de superficie, como los metros cuadrados, el factor de escala que se aplica es el cuadrado del factor de escala lineal, en este caso 160² =160 x 160 = 25.600.

Ahora si: Si dividimos los 300 m² de parcela por 25600 tendremos: 300 / 25600 = 0,01171 m²  que puede corresponder por ejemplo a un rectángulo de 18 por 6 cm en la maqueta.

Con las medidas de volumen pasa lo mismo, es decir, el factor de escala para medidas de volumen es el cubo del factor de escala lineal, es decir, para escala N será 160³ = 160 x 160 x 160 = 4.096.000 (si, más de cuatro millones)

Por ejemplo si en nuestra maqueta queremos poner un depósito de agua, que es algo muy habitual, supongamos que para ello, reproducimos un depósito cilíndrico que mide 3 m de diámetro por 4 de altura.

Como se trata de un cilindro, el volumen del mismo es el área de la base por la altura, y como la base tiene 3 m de diámetro, el radio es la mitad, 1,5 m, y el área de la base es el cuadrado de ese radio multiplicado por π (3,1416).

 En definitiva la capacidad del depósito será: 

3,1416 x 1,5² x 4 = 28,274334 metros cúbicos.

Para hacerlo a escala N tenemos que reducir el diámetro y la altura dividiendo por 160 es decir:

3 / 160 = 0,01875 m  = 1,875 cm de diámetro = 0,9375 cm  de radio

4 / 160 =0,025 m = 2,5 cm de altura

Este depósito tendrá una capacidad (si lo quisiéramos llenar de agua) de:

3,1416 x 0,9375² x 2,5 = 6,902913 cm³

Obsérvese que el depósito real tenía una capacidad de 28,274334 m³ es decir 28.274.334 cm³ y si dividimos esa cifra por el factor de escala para volúmenes que era 4.096.000 nos dá:

28274334 / 4096000 =  6,902913 cm³

Es decir, la cifra calculada para el depósito a escala. Esto nos confirma, por si alguien tenía duda, que el factor de escala para volúmenes es el cubo del factor de escala lineal.

Como curiosidad, si hubiéramos calculado el volumen de agua del depósito modelo, con el factor de escala lineal, en lugar de con el cúbico, nos hubiera dado:

28,274334 / 160 = 0,17671 m³  o sea unos 176 litros. 

Evidentemente con 176 litros no solo llenamos el depósito de la maqueta sino que inundamos la maqueta por completo.

Vamos ahora a hablar de pesos. Como estamos funcionando con agua cuya densidad es 1, es muy fácil:

 Los 28,274334 m³ del depósito real  pesan 28,274334 toneladas (cada m³ de agua pesa una tonelada)  y los 6,902913  cm³ del depósito de la maqueta pesan 6,902913 gramos (cada cm³ de agua pesa 1 gramo).  

O sea que la relación entre los pesos del original y la maqueta es la misma que la de los volúmenes, es decir el cubo del factor de escala.

En realidad, la regla es general: Si no estamos tratando con agua sino con cualquier otro producto, el peso tanto del original como del modelo será el producto del volumen por la densidad. Y lo mismo si es un líquido o es un sólido.

Imaginemos que sacamos el agua de nuestros dos depósitos y llenamos ambos con hormigón por ejemplo con una densidad de 5. (*)

El peso del tanque original lleno de este hormigón será ahora de:

28,274334 x 5 = 141,37167 toneladas

Y el peso del depósito del modelo lleno de este mismo hormigón será:

6,902913 x 5 = 34,514565 gramos

Se puede comprobar que la relación de pesos sigue siendo la misma, es decir la del cubo del factor de escala lineal:

141,37167 / 4096000 =0,00003451457 toneladas = 34,514565 gramos

O sea que la relación de pesos es independiente de la densidad del material.

Tampoco depende de si se trata de líquidos o sólidos. El hormigón del que hemos hablado, al fraguar, se convertirá en un sólido cilíndrico tanto en el depósito grande como en el modelo sin que los pesos varíen (despreciamos temas como la pérdida de agua por evaporación, etc)

Por supuesto tampoco depende de la forma. Una manera de verlo es considerar que en vez de un depósito cilíndrico partimos de un depósito en forma de caja rectangular. Podíamos repetir todos los cálculos y tendríamos el mismo resultado. Otra manera de verlo es considerar que esos dos cilindros sólidos de hormigón que hemos obtenido, los rompemos en trozos. Si juntamos todos los trozos y los pesamos ambos pesos serán los mismos que antes de romperlos, así que la forma desaparece y ya no coinciden entre el original y el modelo, pero la relación de pesos se sigue manteniendo. 

Otra cosa: si para pesar el hormigón ponemos esos trozos en una báscula, no importa que los trozos se amontonen dejando espacios entre ellos. Es decir no se necesita que el material sea un solo bloque compacto

Otro paso más, muy interesante: consideremos que tenemos como en el caso anterior un depósito y su modelo que llenamos de hormigón de densidad 5, y además un segundo depósito y su modelo que llenamos de un hormigón ligero de densidad 3. Cada una de las parejas mantiene la relación de pesos igual al cubo del factor de escala.

El peso de estos bloques de hormigón ligero será:

28,274334 x 3 = 84,823002 toneladas

6,902913 x 3 = 20,708739 gramos

Ahora rompemos en trozos todos los bloques, y mezclamos la totalidad de los trozos de hormigón pesado y la mitad los de hormigón ligero.

Tendremos por una parte:

141,37167 t de hormigón pesado más 42,411501  t de hormigón ligero Total: 183,783171 toneladas

Por otro lado:

34,514565 g de hormigón pesado y 10,3543695 g de hormigón ligero total: 44,8689345 gramos

Bueno pues comprobamos otra vez que

183,783171 / 4096000 = 0,00004486894 toneladas = 44,868935 gramos

Es decir los pesos siguen manteniendo la relación de 1 a 4.096.000 (que es 160³) a pesar de que tenemos dos materiales distintos mezclados en diferente proporción.

Lamento haber manejado números con tantas cifras, pero se trataba de comprobar que los resultados son rigurosamente exactos, no una mera aproximación.

En definitiva. Si tenemos cualquier elemento solido o liquido de cualquier forma y tamaño, ya sea compacto o no, y ya sea formado por un material único o por la mezcla de varios en proporciones diversas y lo reducimos con un factor de escala lineal dado, el peso del elemento reducido será igual al del elemento original dividido por el cubo del factor lineal de escala.

Reconozco que me he puesto un poco pesado pero era muy importante llegar a esa consecuencia porque una locomotora real es un elemento que no es compacto (está lleno de huecos en su interior), está formado por materiales diversos (acero, cobre, aluminio, cristal, plásticos, aceites, refrigerantes, pinturas…) que están presentes en proporciones muy distintas.

Hemos llegado a la conclusión de que si reducimos esa locomotora con un factor de escala lineal dado, por ejemplo de 160, el peso de la locomotora reducida será exactamente el resultado de dividir el peso de la locomotora original por el cubo de 160. Es decir por 4.096.000

Aplicando esto a la locomotora de 120 toneladas que inicialmente pretendíamos calcular cuál debería ser su peso en escala N, obtenemos:

120 t  / 4096000 = 0,00002929 t = 29,29 gramos

¿¿ 29 gramos sólo ??. ¡Pues vamos bien.! Si antes nos salían 750 kilos era muchísimo pero 29 gramos es poquísimo. ¿Dónde está el error ahora?

Realmente no hay ningún error. Hemos calculado que 29 gramos sería el peso de una locomotora real de 120 toneladas reducida a la escala N. Y eso es correcto. Lo que pasa es que una locomotora de escala N de las que ruedan por nuestras maquetas NO ES una reducción a escala 1:160 de una locomotora real.

Una verdadera reducción de una locomotora real a la escala N supondría partir de los planos de la locomotora real e ir fabricando cada una de sus miles de piezas una por una en el mismo material que la original pero a escala reducida. Esto supondría miles de piezas minúsculas (algunas como tornillos tuercas remaches, etc serían microscópicas), y luego, con todas esas piezas montar la locomotora exactamente como se haría con la locomotora real.

Cada una de esas piezas es la reducción a la escala 1/160 de una de las piezas de la original, y como hemos dicho que hacemos la pieza reducida en el mismo material que la original, el peso de cada una de esas minúsculas piezas sería igual al peso de la pieza original dividido por el cubo del factor de escala. El conjunto de todas esas piezas en miniatura pesaría entonces exactamente lo mismo que la locomotora original dividido por el cubo del factor de escala, es decir en nuestro ejemplo 29,29 gramos. Y si la montásemos seguiría pesando lo mismo.

¿Se podría hacer eso? En mi opinión es completamente imposible. No digo ya carísimo, que lo sería, y delicadísimo que lo sería, sino completamente imposible por limitaciones técnicas de los materiales y por supuesto por no existir máquinas capaces de trabajar en esos tamaños con la precisión requerida. Por no hablar de temas como pintura, soldadura, etc presentes en la locomotora real y que no es posible realizar a tamaños tan reducidos.

Pero haciendo la abstracción de que lo puediésemos fabricar, tendríamos en efecto una reproducción a escala N de nuestra locomotora, y pesaría solo 29 gramos. Por cierto sería algo delicadísimo. Si lo quisiéramos coger con la mano la abollaríamos inmediatamente porque por ejemplo la chapa de la carrocería tendría unas micras de espesor.

Realmente, una locomotora real es muy frágil, si lo comparamos con nuestras locomotoras a escala. Pensemos por ejemplo que en un simple descarrilamiento que haga volcar lateralmente una locomotora real sobre su costado, produce graves daños en la misma, mientras que ese tipo vuelco que se da con cierta frecuencia en las maquetas no afecta para nada a nuestras locomotoras. Así que si esa hipotética locomotora miniaturizada volcase lateralmente, sería fácil que solo con eso resultase gravemente dañada.

Evidentemente los fabricantes de trenes modelo no intentan hacer nada parecido. Se limitan a hacer un modelo que imita visualmente el exterior de la locomotora, y colocar en el interior un motor eléctrico, con unas transmisiones que permitan accionar las ruedas.

Además se colocan elementos eléctricos o electrónicos para el control de luces y si es digital para control de la marcha, y en algunos casos la electrónica y los altavoces para reproducir un sonido previamente grabado. Todo esto, está claro que no tiene nada que ver con lo que hay en una locomotora real. Por eso, no podemos esperar que el peso que resulta de todo eso tenga nada que ver con el que correspondería a una miniaturización de una locomotora real y ni siquiera se intenta que se aproxime, sino que por el contrario se intenta que las locomotoras sean relativamente pesadas para mejorar la tracción, así que en muchos casos se colocan lastres y contrapesos.

De esta forma se consiguen unos elementos bastante sólidos con pesos normalmente superiores a 100  gramos y con una buena capacidad de tracción, necesaria por otra parte para arrastrar unos cuantos vagones, que por las mismas razones, son más pesados de lo que correspondería a una miniaturización exacta de un vagón real.

Así que, al final, como resumen de este artículo y el anterior, nuestros trenes a escala son más rápidos, unas tres veces más pesados y mucho más resistentes que lo que correspondería a su escala.

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(*) Naturalmente sería imposible meter hormigón en un depósito en miniatura de menos de 2 cm de diámetro. El hablar de hormigón aquí es para dar la idea de una sustancia con la que podemos suponer que podemos llenar tanto el tanque original como el modelo, igual que podemos hacerlo con agua, pero que tiene un peso mayor que el del agua, para que se pueda ver que la densidad del producto no afecta el razonamiento, y además que puede pasar de líquido a sólido sin cambiar de peso, y que luego ese sólido pueda trocearse. Podía haber hablado de cera o resina, por ejemplo, pero me ha parecido que el hormigón es un producto conocido que todo el mundo ha visto usar, a pesar de que en efecto no tiene la finura de grano adecuada como para llenar un depósito del tamaño de un dedal