Un poco de trigonometría

Imagen: http://fast-tracks.net/slideshows/general/index.html

Nos quedó pendiente en el artículo anterior, aclarar el significado de esos "misteriosos" símbolos (#10, #4 etc) con que Fast Tracks se refiere a los distintos desvíos dentro de la misma escala y dentro del mismo tamaño de carril.

Llama la atención que esa nomenclatura no aparezca en los catálogos de las marcas europeas (por lo menos yo no la he visto). Por ejemplo, en los catálogos de Märklin vemos que tanto en la vía K como en la vía C existen dos familias de desvíos y la diferencia está en el ángulo de desviación. En vía K los dos ángulos existentes son 22 y 14 grados, y en vía C los ángulos son 24 y 12 grados, y estos ángulos abarcan todos los elementos de ambas familias, es decir no sólo desvíos, sino cruces y travesías.

En cuanto a nuestra escala Z, sólo hay una familia de desvíos, con un ángulo de 13 grados. Como las otras marcas de vía Z, (Micro-Track y Rokuhan) han decidido utilizar la misma geometría que Marklin, el aficionado a Z sólo tiene una elección posible en cuanto al ángulo de los desvíos.

El ángulo de desviación define la inclinación de la vía desviada respecto de la vía recta y es un dato muy importante por dos motivos:

• Un desvió con ángulo grande, hace que cuando un tren entre a la vía desviada sufra un desplazamiento lateral, que le aparta de su trayectoria rectilínea, produciendo una brusca sacudida, tanto más grande cuanto mayor sea el ángulo, Este efecto es muy importante en los trenes reales, y por eso, cuando un tren va a entrar a la vía desviada de un desvío, se limita su velocidad, ya que si no el material (tanto la vía como el tren) sufrirían un gran esfuerzo y podría producirse un descarrilamiento. Por este motivo se trata de hacer que los desvíos sean de ángulo muy pequeño (un valor normal puede ser 4º o 5º ), sobre todo en líneas rápidas, dejándose los ángulos mas grandes para líneas secundarias e industriales, donde la velocidad es mucho más baja. Este efecto, es menos importante en un tren modelo, pero si intentamos asemejarnos a la realidad debemos imitar esos desvíos de pequeño ángulo, con los llamados llamados "esbeltos" o de "alta velocidad" cuyo ángulo es, como hemos visto del orden de 12º a 14º
• El otro efecto, es que cuanto más pequeño sea el ángulo, más largo tiene que ser el empalme a otro desvío de una vía paralela para formar un escape o una diagonal. Este efecto es mucho más crítico en el tren modelo, dada la endémica falta de espacio de las maquetas de trenes.

Por este motivo es habitual, como ya hemos visto en la escala H0 de Märklin, que las marcas ofrezcan dos clases de desvíos. Uno de gran ángulo, apropiado para vías secundarias e industriales y que permite aprovechar al máximo el espacio disponible, y otro de pequeño ángulo, apropiado para lineas importantes a costa de utilizar mucho más espacio. Aún así los desvíos esbeltos son todavía muy "poco esbeltos" comparados con los reales, al igual que las curvas de las maquetas son siempre de radio mucho más pequeño que las reales.

 Como ya hemos visto, los desvíos de escala Z son de 13º lo que corresponde con los desvíos esbeltos de las escalas mayores. Como ya he comentado, la idea de la escala Z es permitir una reproducción a escala más exacta de los trazados de vía real, permitiendo grandes radios, que en otras escalas necesitarían un espacio enorme, así que para la escala Z un desvío de 13 grados, no es precisamente un desvío muy esbelto. Así que si hubieran querido hacer dos formas de desvíos, la elección para Z debería haber sido un serie con ángulo todavía más pequeño.

 Naturalmente, una vía artesanal, está pensada para modelistas muy exigentes, y por lo tanto hay que dar la posibilidad de reproducir cualquier tipo de desvío, desde el más esbelto al de mayor ángulo y con la mayor exactitud posible. Por eso Fast Tracks fabrica siete tipos distintos de kits de desvíos en escala Z, con ángulos que van desde 6º a 14º aproximadamente. Como se ve, en efecto, el de mayor ángulo tiene 14º, así que sólo es un poco mayor que un desvío standard de Märklin, mientras que el de menor ángulo tiene sólo 6º (Realmente 5,71º) Esto si es una reproducción a escala completa de un desvío real de alta velocidad.

 Bueno, ya hemos llegado de nuevo a dar la explicación de porqué Fast Tracks hace las cosas que hace, y en este caso (como en el caso de los dos perfiles de carril del artículo anterior), está dando a los maquetistas muy expertos la posibilidad de acercarse a la realidad lo más posible.

 Pero a todo esto, yo estoy diciendo que los desvíos de Fast Tracks tienen entre 6º y 14º y este dato no figura por ningún lado en las especificaciones de sus kits, La explicación es que ellos dan el dato de la divergencia de la vía como una pendiente en lugar de con un ángulo.

Figura 1

Refiriéndonos a la figura 1, las líneas negras representan esquemáticamente un desvío, y hemos marcado en azul la forma "europea" de indicar la desviación de la vía, dando el valor del ángulo α en grados.

 Bueno, pues los americanos lo que hacen es indicar el cociente entre la medida b y la medida a, y eso es lo que indican con ese símbolo. Si por ejemplo b es 4 veces mayor que a el desvío es un #4 y si b es 10 veces mayor que a, el desvío es un #10.



Figura 2

 Los americanos son muy prácticos y en este caso se demuestra al considerar que si tenemos una travesía como en la figura 2 que une tres vías con una distancia entre ejes de 25 mm, y por lo tanto 50 mm en total, y queremos trazar una diagonal no tenemos más que hacer el trazado de la figura 2

Si utilizamos desvíos de tipo #4 el trazado se hará marcando, entre las vías extremas, separadas 50 mm en total, un triángulo de 200 mm de base. Si por el contrario, queremos usar desvíos de tipo #10, el triángulo que debemos trazar tiene 500 mm de base, y con esa medida podemos dibujar el trazado con toda exactitud. (Esta longitud de medio metro sólo para la unión de tres vías es muy grande incluso para la escala Z, así que no es de extrañar que este tipo de desvíos tan reales sean excepcionales en las maquetas).

 Así que vemos que esa nomenclatura es muy práctica ya que permite un trazado muy sencillo y sin necesidad de cálculos de un trazado de vías. Esto, con la terminología europea no es tan simple.

Matemáticamente el cociente b/a de la  figura1 se define como la cotangente del ángulo α. Así que ese número que emplean los americanos es en realidad el valor de la cotangente. De esta forma podemos pasar de la nomenclatura europea a la americana sin más que utilizar una calculadora que tenga funciones trigonométricas. Por ejemplo, para los desvíos de 13 grados de Marklin Z tenemos lo siguiente:

En primer lugar, el desvío que Marklin dice que es de 13 grados tiene un ángulo ligeramente inferior. Exactamente de 12,8 grados (luego diré porqué lo se) . Así que el cálculo será

 Cotan(12,8) = 1/tan(12,8) = 1/ 0,2272= 4,4

 Asi que podríamos decir que los desvíos de Märklin son #4,4.

Y aquí tenemos la explicación a otro de los temas de Fast Tracks. En la escala Z fabrican kits de desvíos de los tipos: #4, #4,5, #5, #6, #7, #8 y #10. Como se ve, todos números enteros excepto 4,5. Está claro que han incluido esa medida extraña porque es muy aproximadamente la que tienen los desvíos de Märklin, así que ese tipo #4,5 es geométricamente igual (o casi) al de Märklin.

Sabiendo ya que el desvío de Märklin es un #4,4 podemos aplicar la regla anterior para hallar la medida de la base del triángulo que nos permita hacer el trazado para unir las tres vías paralelas con entreejes de 25 mm:

 4,4 x 50 = 220 mm

 Exacto! 220 mm es exactamente la base de ese triángulo y como vemos es exactamente igual a la longitud de dos desvíos de Märklin que son de 110 mm de largo. De hecho, 110 mm es el módulo de la vía de Z de Märklin ya que todas las piezas tienen esa medida o un múltiplo o fracción de ella.  El llegar a este valor es lo que me ha permitido deducir que el valor exacto del ángulo es 12,8º

Figura 3

Pero hay todavía una magnitud más, ligada al ángulo del desvío: es el radio de la curva que lleva desde la vía recta a la vía desviada. Refiriéndonos a la figura 3, vemos que hay una curva marcada con la letra C que representa esta vía curva. Esta vía empieza tangente a la vía recta, y acaba tangente a la vía desviada, de manera que es un arco de circulo del mismo ángulo α que forman entre si las vía recta y la desviada. Sabiendo eso, y que la cota m es igual a la longitud del desvío, y por lo tanto al módulo 110, deducimos que se da esta relación matemática:

 sen α =m / R  

 de donde:

R = m / sen α = 110 / sen(12,8) =

 = 110 / 0,221 = 496 mm.

 Es decir, el radio de esa curva debe ser de 496 mm, y esto viene impuesto en función del módulo y del ángulo del desvío. Como sabemos, Märklin tiene una pieza de vía , con código 8591 que coincide lo que aquí hemos calculado.  (la pequeña diferencia se debe seguramente a que la curva del desvío no empieza exactamente en el borde del desvío, sino unos milímetros después), así que nuestro cálculo es correcto.

Esto es muy importante, porque indica que cuanto más pequeño es el ángulo del desvío, más grande es el radio de la curva de acuerdo, de modo que los desvíos de ángulo pequeño, no favorecen la circulación solamente porque el tren se desvía menos de su trayectoria rectilínea, sino, sobretodo, porque la curva que se describe para hacerlo es de un radio muy grande.

Así que de ésto, sacamos la consecuencia de que en cualquier sistema de vías, las cuatro magnitudes: módulo, entreeje, y ángulo y radio de la curva de los desvios, están relacionadas entre si de una manera matemática, lo que impone una gran rigidez a las posibilidades de crear nuevos elementos de vía.

Por ejemplo, si como antes dijimos, Märklin quisiera hacer unos desvíos más esbeltos que los actuales, pero conservando el mismo módulo y entreeje, tendría que ir a hacer desvíos de dos módulos, o sea de 220 mm de longitud. Esto daría lugar a desvíos #8,8 cuyo ángulo sería de 6,48 grados. y con una curva de 1949 mm de radio.  ¡esto si sería un buen desvío de alta velocidad en escala Z!  Desde luego podemos construir el de #9 con los kits de Fast Tracks.

A veces yo me he quejado de que Märklin no haga un desvío tipo industrial de ángulo mayor. Veamos: si hiciese un desvío de medio módulo (55 m de longitud) esto daría lugar a un desvío de #2,2 cuyo ángulo es 24 grados y el radio de curvatura que sale es de 135 mm que es menor que el radio más pequeño de la escala que es 195 mm. Por ahí sólo podrían pasar vehículos cortos circulando despacio. Bueno! es una vía industrial, pero como siempre, Marklin no se arriesga a vender un producto que podría dar problemas si el usuario no es suficientemente experto.

A lo mejor, algún lector se pregunta porqué es tan complicado hacer tipos distintos de desvío, y sin embargo Fast Tracks hace toda clase de geometrías distintas. La explicación es que una vía comercial tiene que tener una modulación para que todas las piezas encajen con todas las demás, con un esquema sencillo y sin necesidad de hacer un número exagerado de piezas distintas. Por el contrario con la vía artesanal no hay que sujetarse a ninguna modulación, porque todas las piezas se hacen a medida y no tienen que encajar en ningún otro sitio mas que para dónde se han diseñado. Exactamente igual que se hace con la vía del tren real.

Por eso, las fotografías de la vía artesanal transmiten esa impresionante sensación de realidad, completamente alejada de lo que ocurre con las piezas industriales. Si alguien tiene alguna duda, puede mirar la fotografía de la cabecera. Por increíble que parezca es una fotografía de una maqueta, aunque no puedo afirmar de qué escala es.